[Baekjoon/JAVA] 17626번 - Four Squares

[백준] Baekjoon Online Judge

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문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

 

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

 

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

 

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예제 입력	예제 출력
25	1
26	2
11339	3
34567	4

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풀이

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

        int n = Integer.parseInt(br.readLine());
        int[] arr = new int[n + 1];
        arr[0] = 0;
        arr[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            arr[i] = 4;

            // 사용하는 최소 제곱수의 수
            for (int j = 1; j * j <= i; j++)
                arr[i] = Math.min(arr[i - j * j] + 1, arr[i]);
        }

        System.out.println(arr[n]);

        br.close();
    }
}

arr[26] = arr[26 - 1 * 1] + 1 = arr[25] + 1
arr[26] = arr[26 - 2 * 2] + 1 = arr[22] + 1
arr[26] = arr[26 - 3 * 3] + 1 = arr[17] + 1
arr[26] = arr[26 - 4 * 4] + 1 = arr[10] + 1
arr[26] = arr[26 - 5 * 5] + 1 = arr[1] + 1

어떤 수를 이루는 제곱수의 개수는 그 수에 해당 수보다 작은 제곱수 하나를 뺀 수의 제곱수 개수에 1을 더한 것과 같다. 그러므로 1부터 차근차근 그 수를 이루는 제곱수의 개수를 구하다보면 자연스럽게 그 뒤의 숫자들을 이루는 제곱수의 개수도 구할 수 있다.